Scratch画分形图形系列86：由科赫曲线孳生的有趣分形

一、问题的提出

科赫（Koch）曲线在分形几何中是赫赫有名的存在，我们也在Scratch画分形几何图系列条文中给出过若干范例。本文再次以科赫曲线为基础，画出由它演变出的有趣分形图。

二、画一个三脚架构成的填满平面的正六边形组合，这是在《CHAOS AND FRACTALS》一书中介绍科赫曲线那一段给出的一个分形。

（一）根据0级到2级分形图可见，0级最初元是一根线段，1级是将一根线段变成一个等长等夹角的“三脚架”，2级是1级三脚架的每一条边又变成了一个新的三脚架……这里要注意上一级线段的方向，如下图中的白色虚线箭头所示。

设θ=30度，上一级的线段长度A与下一级的三脚架的边长a之间的关系是acosθ=A/2，所以a/A=1/2cosθ。

（二）编程实现，和画其它分形类似，用L系统递归给出。

1.先定义堆栈（保存恢复位置）的子程序：

2.定义画线段并退回原位的子程序，以及抬笔移动的子程序：

3.由前面的分析得出L系统规则：

V（字母表）：F，f，+，-，[，]

ω（公理）：F

P（规则）：规则1：F → [+F+f－－－－－F+f－－－－－F]

δ（角度增量）：30°

4.对应规则有F的递归子程序：

5.主程序和4级分形图：

（三）看看其它几级分形图，是不是很酷炫？

三、画一个像花篮一样的分形。

（一）迭代关系分析：0级图表示它的最初元是一根线段；1级是由4根初级元组成的W形折线，第一第二根以及第三第四根的夹角都是90度，第二第三根的夹角是30度；2级由1级的每一根线段又变成新一级的W形折线……

（二）编程实现

1.只要算出两级之间的线段长度比，就可以像画科赫曲线那样画出这个分形。

2.“花篮”的L系统规则：

V（字母表）：F， +，-。

ω（公理）：F

P（规则）：规则1：F → －F++++++F－－－－－－－－－－F++++++F－

δ（角度增量）：15°

3对应规则F的递归子程序：

4.画图主程序：

5.几级分形图：

6.像画科赫雪花那样，对主程序初始数据做些改动，将分形图旋转拼接，形成花环，而且分级动画呈现怎么样？

效果截图：

四、由反雪花组成的枯树图

反雪花分形是由科赫雪花的转角取反以后形成的，如果把角度大小做些变动，比如由60度变成接近90度怎么样？

如果我们把这样的反科赫曲线，通过旋转90度4次组合起来怎么样？

【拓展】你能做出根据θ角不断变化的反雪花组合的动图么？

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